ข้อความที่ขอบกระดาษอันแสนโด่งดัง

แฟร์มาต์เหมือนตกอยู่ในมนต์เสน่ห์ของจำนวน เขาค้นพบความงดงามและความหมายต่างๆ ของจำนวน เขาคิดค้นทฤษฎีบทต่างๆ เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนขึ้นมามากมาย

หนึ่งในบรรดาทฤษฎีบทเหล่านั้นก็คือ จำนวนที่ได้จากสูตร 2^{2^n} + 1 (เลข 2 ยกกำลังด้วย 2 ยกกำลัง n ทั้งหมดบวกด้วย 1) ทุกๆ ตัวจะเป็น จำนวนเฉพาะ ต่อมาภายหลังมีคนค้นพบว่าทฤษฎีบทข้อนี้ไม่เป็นความจริง เนื่องจากมีจำนวนที่ได้จากสูตรนี้ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

หนึ่งในบรรดาหนังสือโบราณที่มีการแปลเป็นภาษาลาตินที่แฟร์มาต์เก็บรักษาไว้อย่างดี คือหนังสือที่มีชื่อว่า Arithmetica เขียนโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อว่าไดโอแฟนตัส (Diophantus) ซึ่งอาศัยอยู่ในเมืองอเล็กซานเดรีย (Alexandria) ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช

ในราวปีค.ศ. 1637 แฟร์มาต์เขียนที่ขอบกระดาษของหนังสือโบราณของไดโอแฟนตัสที่เขาเป็นเจ้าของ ข้างๆ โจทย์เกี่ยวกับการแยกเลขยกกำลังสอง (Square) ออกเป็นผลบวกของเลขยกกำลังสอง 2 จำนวนว่า

ในทางกลับกัน มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกเลขยกกำลังสาม (Cube) ออกเป็นเลขยกกำลังสาม 2 จำนวน หรือแยกเลขยกกำลังสี่ (Biquadrate) ออกเป็นเลขยกกำลังสี่ 2 จำนวน หรือโดยทั่วๆ ไปแล้วจะไม่สามารถแยกเลขยกกำลังใดๆ ก็ตาม ที่ไม่ใช่เลขยกกำลังสอง ออกเป็นเลขยกกำลังในดีกรีเดียวกัน 2 จำนวนได้ ฉันได้ค้นพบบทพิสูจน์อันแสนมหัศจรรย์สำหรับคำกล่าวนี้ แต่อย่างไรก็ตามขอบกระดาษนี้มีเนื้อที่ไม่พอที่จะบรรจุบทพิสูจน์เอาไว้

ข้อความปริศนานี้ทำให้นักคณิตศาสตร์รุ่นแล้วรุ่นเล่าใช้เวลาหมกมุ่นอยู่กับการค้นหา “บทพิสูจน์อันแสนมหัศจรรย์” ที่แฟร์มาต์อ้างว่าเป็นเจ้าของ

ตัวข้อความที่กล่าวไว้ว่า ในขณะที่เลขจำนวนเต็มยกกำลังสอง สามารถแยกออกเป็นเลขจำนวนเต็มยกกำลังสอง 2 จำนวนได้ (เช่น 5 ยกกำลังสอง ซึ่งเท่ากับ 25 จะเท่ากับผลบวกของ 4 ยกกำลังสอง [16] กับ 3 กำลังสอง [9]) แต่เราไม่สามารถกระทำการแบบเดียวกันกับเลขยกกำลังสามหรือเลขยกกำลังที่สูงกว่าได้ เป็นทฤษฎีบทที่ดูแล้วไม่มีความซับซ้อน

ทฤษฎีบทข้ออื่นๆ ของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จทั้งหมดภายในช่วงต้นๆ ของคริสต์ศตวรรษ 1800 แต่ข้อความที่ดูแสนจะธรรมดานี้ก็ยังคงอยู่ และต่อมาได้ถูกขนานนามว่า “ทฤษฎีบทข้อสุดท้ายของแฟร์มาต์”

มันเป็นทฤษฎีบทที่เป็นความจริงหรือไม่?

แม้แต่ในศตวรรษนี้คอมพิวเตอร์ก็ยังไม่ประสบความสำเร็จในการพยายามจะพิสูจน์ว่าทฤษฎีบทนี้เป็นความจริงหรือไม่ คอมพิวเตอร์สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีบทข้อนี้เป็นความจริงสำหรับจำนวนหลายๆ จำนวน แต่ไม่สามารถจะพิสูจน์จำนวน “ทุกๆ จำนวน” ได้

เราอาจจะทดสอบทฤษฎีบทนี้กับจำนวนนับพันล้านจำนวน แต่ก็ยังมีจำนวนที่ยังไม่ได้พิสูจน์อีกมากมายไม่มีที่สิ้นสุด ในการจะยอมรับทฤษฎีบทข้อสุดท้ายของแฟร์มาต์ จึงจำเป็นต้องมีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ขึ้นมายืนยัน

สถาบันทางวิทยาศาสตร์ของฝรั่งเศสและเยอรมันได้ตั้งรางวัลขึ้นมาตั้งแต่ช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 1800 โดยเสนอรางวัลให้กับใครก็ตามที่สามารถเสนอบทพิสูจน์ขึ้นมาได้ และทุกๆ ปีก็จะมีนักคณิตศาสตร์ทั้งมืออาชีพ มือสมัครเล่น และบรรดาพวกสติเฟื่องทั้งหลายนับพันๆ คน ต่างส่งบทพิสูจน์ไปยังวารสารทางคณิตศาสตร์และคณะกรรมการผู้ตัดสินต่างๆ แต่ก็ไม่มีใครได้รางวัลติดมือกลับไปสักคน

« ตอนที่แล้ว – ตอนต่อไป »