| � |
| 5 ����ͧ����ش |
| � |
| ����ͧ���� �觵����Ǣ������ |
| English |
| SGfSE |
| @Work |
| F.L.T.��**Update** |
| Health |
| Miscellaneous |
| � |
| �ʴ������Դ��� |
| �ʵ��� |
| ��纺��� |
| � |
| ���ʹѺʹع |
| �������Ź�� |
| � |
จำนวนจินตภาพ
สาขาวิชาจำนวนเชิงซ้อน เป็นสาขาของจำนวนที่มีพื้นฐานจากจำนวนจริงธรรมดากับสิ่งที่เรียกว่า จำนวนจินตภาพ ซึ่งเป็นสิ่งที่ออยเลอร์รู้จัก จำนวนเหล่านี้ปรากฏขึ้นตอนที่นักคณิตศาสตร์กำลังพยายามจะบรรยายจำนวนที่เป็นคำตอบของสมการอย่าง x2 + 1 = 0 มัน ไม่มีคำตอบ “จริง” สำหรับสมการที่ดูธรรมดาๆ นี้ เพราะไม่มีจำนวนจริงใดๆ ที่ เมื่อนำไปยกกำลังสองแล้ว ได้ค่า -1 ซึ่งเมื่อนำมาบวกกับ 1 จะ ได้คำตอบเท่ากับศูนย์ แต่ถ้าเรามีวิธีการใดก็ตามที่สามารถกำหนดค่าของรากที่สองของจำนวนลบให้เป็นตัวเลขใดตัวเลขหนึ่งได้ ถึงแม้มันจะไม่ ใช่จำนวนจริง แต่มันก็จะเป็นคำตอบของสมการได้
เส้นจำนวนจึงถูกขยายขอบเขตออกไปเพื่อรวมเอาจำนวนจินตภาพไว้ด้วย จำนวนเหล่านี้คือผลคูณของรากที่สองของ -1 ซึ่งเขียนแสดงด้วย i พวกมันถูกเขียนไว้บนเส้นจำนวนต่างหากที่ตั้งฉากกับเส้นจำนวนของจำนวนจริง เมื่อนำมารวมกัน แกนทั้งสองนี้จะทำให้เกิดระนาบเชิงซ้อนขึ้น ระนาบเชิงซ้อนแสดงได้ดังภาพข้างล่าง มันมีคุณสมบัติที่น่าทึ่งหลายๆอย่าง เช่น การหมุนของแกนจะทำได้โดยการคูณด้วย i
การคูณด้วย i จะหมุนในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
ระนาบเชิงซ้อนเป็นสาขาที่เล็กที่สุดของจำนวนซึ่งมีคำตอบสำหรับสมการสมการกำลังสอง (quadratic equation) ทุกสมการ มันมี ประโยชน์มากในการประยุกต์ใช้ในสาขาวิศวกรรม กลศาสตร์ของไหล และสาขาอื่นๆ ในปีค.ศ. 1811 หลายศตวรรษก่อนยุคของเกาส์ เขาได้ ศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันในระนาบเชิงซ้อน เขาค้นพบคุณสมบัติอันน่าทึ่งของฟังก์ชันเหล่านี้ ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) เกาส์พบว่าฟังก์ชันวิเคราะห์มีความราบเรียบเป็นพิเศษ และทำให้เกิดการคำนวณที่เป็นระเบียบ ฟังก์ชันวิเคราะห์จะ รักษามุมระหว่างเส้นตรงและเส้นโค้งบนระนาบเอาไว้ได้ เป็นคุณสมบัติที่กลายเป็นสิ่งสำคัญในศตวรรษที่ยี่สิบ ฟังก์ชันวิเคราะห์บางฟังก์ชันที่ เรียกว่ารูปแบบมอดุลาร์ (Modular Form) ได้แสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็นในวิธีการแบบใหม่สำหรับแก้ปัญหาของแฟร์มาต์ เนื่องจากความอ่อนน้อมถ่อมตัวของ เขา เกาส์ไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานที่น่าประทับใจเหล่านี้ เขาเขียนถึงมันในจดหมายที่ส่งถึงเพื่อนของเขา ฟรีดริช วิลเลห์ม เบซเซิล (Friedrich Wilhelm Bessel 1784–1846) ในอีกหลายปีต่อมาเมื่อทฤษฎีนี้ได้ปรากฏขึ้นโดยไม่ได้มีชื่อของเกาส์ติดอยู่ นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ จึงได้รับคำยกย่องสำหรับผลงานเรื่องฟังก์ชันวิเคราะห์เรื่องเดียวกันนี้ ซึ่งเกาส์เข้าใจอย่างลึกซึ้ง
ฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) มีความหมายเหมือนกับ ฟังก์ชันปรกติ regular function