ความร่ำรวย คือ จำนวนยกกำลังสอง

ระบบจำนวนอันซับซ้อนได้ถูกพัฒนาขึ้นโดยใช้ระบบจำนวนฐานหกสิบ (Base Sixty) และการที่วิศวกรและช่างก่อสร้างชาวแบ็บบิโลเนียนต้องสามารถคำนวณปริมาณต่างๆ ที่จำเป็นต้องใช้ในวิชาชีพของตัวเองได้ทำให้เลขยกกำลังสองกลายเป็นสิ่งที่เป็นธรรมชาติเป็นเรื่องปกติธรรมดาในชีวิตประจำวันถึงแม้ว่ามันจะดูไม่น่าเป็นเช่นนั้นได้ในตอนแรกก็ตาม

ค่ายกกำลังสองของตัวเลขสามารถใช้เป็นเครื่องแสดงความร่ำรวยได้โดยความมั่งมีของชาวนาจะขึ้นอยู่กับปริมาณพืชผลที่สามารถผลิตได้ในทางกลับกันพืชผลเหล่านี้ก็จะขึ้นอยู่กับ “พื้นที่” ที่ชาวนามีอยู่

พื้นที่คือผลคูณของความยาวกับความกว้างของทุ่งนา และนี่คือจุดที่เลขยกกำลังสองเข้ามามีส่วนร่วมเพราะทุ่งนาที่มีความยาวและความกว้างเท่ากับ a จะมีพื้นที่เท่ากับ a ยกกำลังสอง ดังนั้นความร่ำรวยคือจำนวนยกกำลังสอง

ชาวแบ็บบิโลเนียนต้องการจะรู้ว่าเมื่อไหร่ที่เลขยกกำลังสองของจำนวนเต็มจะสามารถแบ่งออกเป็นเลขยกกำลังของเลขอื่นๆ ที่เป็นจำนวนเต็มได้

ชาวนาที่มีทุ่งนาสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 25 หน่วยสามารถเอามันไปแลกกับที่นาสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองแปลง แปลงหนึ่งมีขนาด 16 หน่วยและอีกแปลงหนึ่งมีขนาด 9 หน่วย

ดังนั้นทุ่งนาขนาด 5 x 5 หน่วยจะเท่ากับที่นาสองแปลงขนาด 4 x 4 หน่วยและขนาด 3 x 3 หน่วย นี่เป็นข้อมูลที่จำเป็นสำหรับคำตอบของปัญหาในชีวิตประจำวัน

ทุกวันนี้เราอาจจะเขียนความสัมพันธ์นี้ในรูปของสมการ 5² = 3²+ 4² และชุดของจำนวนเต็มสามจำนวน (ในที่นี้ คือ 3, 4, 5) ซึ่งมีเลขยกกำลังที่สามารถทำให้ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงเรียกว่า สูตรตรีคูณพีธากอรัส (Pythagorean Triples) – ตามชื่อของพีธากอรัส (Pythagoras) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่มีชื่อเสียง – ถึงแม้ว่ามันจะเป็นที่รู้จักสำหรับชาวแบ็บบิโลเนียนมามากกว่าหนึ่งพันปีก่อนยุคสมัยของพีธากอรัสก็ตาม

เรารู้เรื่องราวเหล่านี้จากแผ่นจารึกดินเหนียวที่มีลักษณะพิเศษแผ่นหนึ่งที่อายุย้อนไปเมื่อประมาณ 1,900 ปีก่อนคริสต์ศักราช

« ตอนที่แล้ว – ตอนต่อไป »

---

ระบบจำนวนฐาน:

การนับเลขที่เราใช้อยู่ทุกวันนี้เป็นระบบจำนวนฐานสิบ (Decimal Number System) นั่นคือ การนับตัวเลขจะนับไปถึง 10 แล้วจึงทดขึ้น หลักใหม่ ตัวเลขในแต่ละหลักของระบบจำนวนฐานสิบจะมีค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 9 (= 10 – 1)

ตัวเลขแต่ละหลักจะมีค่าเป็นเลขในหลักนั้นคูณกับ 10 ยกกำลัง 0, 1, 2, 3, …ไปเรื่อยๆ (เริ่มตั้งแต่หลักขวาสุด)

เช่น 237=> (7 x 10⁰ + (3 x 10¹ ) + (2 x 10² ) = 7 + 30 + 200

ถ้าเป็นระบบจำนวนฐานอื่นๆ ก็ใช้หลักการเดียวกัน คือ นับเลขไปถึงเท่ากับ “เลขฐาน”แล้วจึงขึ้นหลักใหม่ และตัวเลขแต่ละหลักจะมีตั้งแต่ 0 ถึง “เลขฐาน – 1” และค่าตัวเลขแต่ละหลักจะมีค่าเป็นเลขในหลักนั้นคูณกับเลขฐานนั้นยกกำลัง 0, 1, 2, 3, …ไปเรื่อยๆ

เวลาเราจะเขียนตัวเลขในระบบจำนวนฐานอื่นที่ไม่ใช่จำนวนฐานสิบเราจะเขียนเลขฐานเป็นตัวห้อยกำกับไว้ข้างท้ายแต่สำหรับเลขที่ไม่มีเลขฐานห้อยท้ายก็เข้าใจกันว่าเป็นเลขในระบบจำนวนฐานสิบ นั่นคือละไว้ฐานเข้าใจ

ในปัจจุบันระบบจำนวนฐานอื่นนอกจากฐานสิบก็มีใช้งานกันอยู่บ้าง อย่างระบบจำนวนฐานสอง (Binary Number System) ซึ่งใช้เป็นพื้นฐานของการทำงานของคอมพิวเตอร์และอุปกรณ์อิเลกทรอนิกส์ในปัจจุบัน ในระบบจำนวนฐานสองมีตัวเลขได้แค่ 2 ตัวคือ 0 และ 1

เช่น เลข 9 ในระบบจำนวนฐานสิบ จะเขียนได้เป็น 1001₂ หรือ (1 x 2³) + (0 x 2²) + (0 x 2¹) + (1 x 2⁰) = 8 + 1

ระบบจำนวนฐานสิบหก (Hexadecimal Number System) ก็มีใช้กันอยู่บ้าง ในระบบจำนวนฐานสิบหก ตัวเลขแต่ละหลักมีค่าได้ตั้งแต่ 1 ถึง 15 โดยใช้เลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 และ A ถึง F เป็น “สัญลักษณ์” แทน (คือ A=10, B=11, C=12, … , F=15)

สำหรับการใช้งานของระบบจำนวนฐานสิบหก คนทำที่เว็บคงต้องเคยเห็นบ้างแล้ว เวลาที่บอกโค้ดสีแบบ RGB ซึ่งใช้เลขฐาน 16 สองหลัก จำนวน 3 ชุดเพื่อบอกค่า ของแต่ละแม่แสงแดงเขียวฟ้า (Red Green Blue หรือ RGB) สำหรับให้โปรแกรมบราวเซอร์แสดงสีที่ต้องการ

เลขฐานสิบหก 2 หลัก มีค่าได้มากที่สุดเท่ากับ FF หรือ (15 x 16 ¹) + (15 x 16 ⁰) = 240 + 15 = 255 นั่นคือแต่ละสีสามารถมีได้ 255 เฉดสี

ตัวอย่างเช่น สีแดง มีโค้ด Hexadecimal เป็น #FF0000 สีเขียวเป็น #00FF00 สีฟ้าเป็น #0000FF (หรือ 225–0–0, 0–255–0 และ 0–0–255 ในระบบ Decimal ตามลำดับ) สีขาวมีโค้ด #FFFFFF และสีดำมีโค้ด #000000 (หรือ 255–255–255 และ 0–0–0 ในระบบ Decimal) ส่วนสีอื่นๆ ก็เป็นการผสมกันของ 3 แม่แสงที่ค่าต่างๆ กันไปในช่วง (0-255)–(0-255)–(0-255)

ทีนี้กลับมาที่ระบบจำนวนฐานหกสิบหรือ Base Sixty ที่พูดถึงข้างบนค่าตัวเลขในแต่ละหลักจะมีค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 59 (ซึ่งเราคาดว่าชาวแบ็บบิโลเนียนก็คงจะต้องมีสัญลักษณ์ต่างๆ กัน 60 แบบเพื่อแทนจำนวนนับในแต่ละหลัก) ค่าตัวเลขแต่ละหลักก็จะมีค่าเป็น 60 ยกกำลัง 0, 1, 2, 3, ... ไปเรื่อยๆ

เลขจำนวนเดียวกันกับที่ยกตัวอย่างมาข้างบน อย่าง 237 ถ้าเป็นในระบบฐานหกสิบก็จะมีค่าเป็น 237₆₀ = (2 x 60²) + (3 x 60¹) + (7 x 60⁰) เท่ากับ 7387 ในระบบจำนวนฐานสิบ

จะเห็นว่านอกจากการที่จะต้องมีสัญลักษณ์แทนตัวเลขมากถึง 60 ตัวแล้วการคำนวณก็ซับซ้อนมากด้วย โดยเฉพาะสำหรับคนที่เคยชินกับระบบจำนวนฐานสิบอย่างพวกเรา แต่ถ้าลองจินตนาการว่าระบบจำนวนฐานหกสิบเป็นสิ่งที่เราเจอมาตั้งแต่เกิดและใช้อยู่ทุกเมื่อเชื่อวัน (เหมือนชาวแบ็บบิโลเนียน) มันก็จะกลายเป็นสิ่งที่เป็นธรรมชาติไป และการต้องคิดคำนวณในระบบจำนวนฐานสิบอาจจะกลายเป็นสิ่งที่น่างง (สำหรับชาวแบ็บบิโลเนียน) ก็เป็นได้

Pythagorean Triples หรือ ชุดตัวเลขสามตัวพีธากอรัส เราเรียกเอาเองว่า “สูตรตรีคูณ”เลียนแบบ “สูตรคูณ” อ่ะนะถ้ามีเวลาจะพยายามไปเช็คกับตำราคณิตศาสตร์ภาษาไทยอีกทีว่าเขาเรียกเป็นภาษาไทยว่าอะไร (หรือถ้ามีใครรู้ ก็ช่วยมาบอกไว้ในเกสต์บุ๊กไว้ด้วยจะขอบคุณมากจ้ะ)

พีธากอรัส (Pythagoras) เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงโด่งดังจนคนรู้จักทั่วไปชื่อของเขาเลยโดนผันมาเป็นคำคุณศัพท์ได้ด้วย (Pythagorean)แต่คนไทยไม่มีการผันคำนามไปเป็นคำคุณศัพท์ เรา (คนแปล) ก็เลยเรียกว่า สูตรตรีคูณพีธากอรัส แทนที่จะเป็น สูตรตรีคูณพีธากอเรียน

แต่จะว่าไปเราก็ไม่มี Consistency ในเรื่องนี้เพราะถ้าใช้กฎเกณฑ์เดียวกัน เราจะต้องเรียกคนที่อาศัยในแบ็บบิลอนว่า ชาวแบ็บบิลอนไม่ใช่ ชาวแบ็บบิโลเนียนเอาเป็นว่าจะเรียกอะไรยังไงขึ้นอยู่กับแต่อารมณ์และความถนัดของคนแปลละกันนะ 5555