“จำนวนคือทุกสิ่งทุกอย่าง”(Number is Everything)

ในดินแดนที่แห้งแล้งสุดปลายแหลมประเทศอิตาลี พีธากอรัสได้จัดตั้งสมาคมลับแห่งหนึ่งที่อุทิศตัวให้กับการศึกษาเรื่องจำนวน

เชื่อกันว่า สมาชิกของสมาคม ที่ภายหลังได้ถูกเรียกโดยรวมๆ ว่าพวกพีธากอเรียน (The Pythagoreans) ได้พัฒนาและสร้างองค์ความรู้ ในทางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ โดยกระทำการทั้งหมดทั้งปวงอย่างเป็นความลับ

เชื่อกันว่าพวกพีธากอเรียนมีแนวปรัชญาที่สรุปสั้นๆ เป็นคำขวัญของพวกเขาเองว่า “จำนวนคือทุกสิ่งทุกอย่าง” พวกเขานับถือบูชาจำนวน และเชื่อว่ามันมีคุณสมบัติวิเศษ

จำนวนที่เป็นที่สนใจอย่างมากของพวกเขาคือ จำนวนที่ “สมบูรณ์”

หนึ่งในคำนิยามของ จำนวนสมบูรณ์ (Perfect Number) ซึ่งเป็นแนวความคิดที่ยังมีต่อมาอีกจนถึงยุคกลางและปรากฏอยู่ในระบบความเชื่อและคำสอนอันเร้นลับอย่างเช่น ลัทธิแค็บบาลาห์ (Kabbalah) ของชาวยิว คือ จำนวนที่ผลรวมของตัวประกอบของมันจะเท่ากับตัวของมันเอง ^NOTE

ตัวอย่างที่ดีและง่ายที่สุดที่จะอธิบายของจำนวนสมบูรณ์คือเลข 6

6 เป็นผลคูณของ 3 และ 2 และ 1 จำนวนทั้งสามนี้เป็นตัวประกอบของ 6 และเราจะได้ว่า 6 = 3 x 2 x 1 แต่สังเกตว่าเราสามารถ บวก เลขตัวประกอบชุดเดียวกันนี้และได้ผลลัพธ์เท่ากับหกด้วยเช่นกัน 6 = 3 + 2 + 1

ด้วยลักษณะเช่นนี้ เลขหกจึงเป็นจำนวน “สมบูรณ์”

เลขอีกตัวหนึ่งที่เป็นจำนวนสมบูรณ์คือ 28 เนื่องจากจำนวนที่สามารถหาร 28 ได้ (โดยหารลงตัว) คือ 1, 2, 4, 7, และ 14, ซึ่งเราก็จะสังเกตได้ด้วยว่า 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

พวกพีธากอเรียนใช้ชีวิตอย่างสันโดษ และเป็นมังสวิรัติที่เคร่งครัด แต่พวกเขาไม่รับประทานถั่วเมล็ดแบนเพราะมันดูเหมือนอัณฑะ ความคิดหมกมุ่นเกี่ยวกับจำนวนกลายเป็นเหมือนจิตวิญญาณของลัทธิศาสนา และความเป็นมังสวิรัติที่เคร่งครัดก็เกิดขึ้นตามมาในความเชื่อทางศาสนา

ในขณะที่ไม่มีเอกสารใดๆ ในยุคสมัยของพีธากอรัสหลงเหลือมาถึงปัจจุบันนี้ แต่ก็มีการเขียนบรรยายถึงผู้เป็นหัวหน้าและผู้ที่มีความเชื่อในแนวทางของเขา

ตัวพีธากอรัสเองก็ได้รับการพิจารณาว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในสมัยโบราณ เนื่องจากเขาได้คนพบ ทฤษฎีบทพีธากอรัส เกี่ยวกับค่ายกกำลังสองของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีความเกี่ยวเนื่องอย่างมากต่อ สูตรตรีคูณพีธากอรัส ซึ่งในที่สุดแล้วก็มีความเกี่ยวเนื่องไปถึงทฤษฎีบทข้อสุดท้ายของแฟร์มาต์ ที่ปรากฏขึ้นในเวลาอีกสองพันปีต่อมา

« ตอนที่แล้ว – ตอนต่อไป »

---

NOTE – มีคนอ่านตอนนี้แล้วสงสัยนิยามของ Perfect Number พอเรามาอ่านที่เราแปลไปอีกรอบถึงได้รู้ว่าพลาดไป

เพราะในคำแปลเดิมเราบอกว่า จำนวนสมบูรณ์ คือ “จำนวนที่ผลรวมกับผลคูณของตัวประกอบของมันจะเท่ากัน” ที่จริงต้องเป็นอย่างที่แก้ไปแล้วข้างบน คือ “จำนวนที่ผลรวมของตัวประกอบของมันจะเท่ากับตัวของมันเอง” ต่างหาก

อันนี้จะตรงกันกับนิยามที่เราได้จากดิกชันนารี (A positive integer that is equal to the sum of its positive integral factors, including 1 but excluding itself.) สังเกตตรงนี้นิดหนึ่งว่าต้องเป็น ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก โดยรวมเลข 1 แต่ไม่รวมเลขที่เป็นตัวมันเอง

เราคิดว่าการที่ผู้เขียนยกตัวอย่างเลข 6 ขึ้นมาโดยพูดตอนแรกว่า 6 คือ 3 x 2 x 1 มีส่วนทำให้เราเผลอไผลเข้าใจไปว่า Perfect Number คือผลคูณของตัวประกอบต้องเท่ากับผลบวกของตัวประกอบ

หลังจากอ่านทวนจึงเข้าใจว่า Key Word ไม่ใช่คำว่า “ผลคูณ” แต่เป็นคำว่า “ตัวประกอบ” ต่างหาก บังเอิญว่า การหาตัวประกอบของจำนวน ใดๆ เราสามารถหาจำนวนที่คูณกันแล้วได้จำนวนนั้น หรือจะหาจำนวนที่มาหารจำนวนนั้นแล้วลงตัวก็ได้ (และผู้เขียนก็ใช้ทั้งสองวิธีในตัวอย่างของเขา)

และบังเอิญอีกชั้นหนึ่งด้วยว่า เลข 6 เป็น Perfect Number ที่มีตัวประกอบแค่ชุดเดียว (คือ 2 x 3 – ไม่นับเลข 1 และตัวมันเอง) จึงทำให้ผลคูณของตัวประกอบเท่ากับผลบวกของตัวประกอบ (และเท่ากับตัวมันเอง)

ในขณะที่ Perfect Number อื่นๆ จะมีตัวประกอบมากกว่า 1 ชุด อย่าง 28 มี 2 x 14 และ 4 x 7 ผลคูณของตัวประกอบทุกตัวจึงไม่เท่ากับผลบวกของตัวประกอบ

(ซึ่งเราแอบคิดเป็น “ทฤษฎีบท” มั่ง – เราได้ว่า “ถ้าจำนวนใดๆ มีตัวประกอบ 1 ชุด (ไม่นับตัวมันเองกับ 1) ผลคูณของตัวประกอบจะเท่ากับตัวมันเอง ถ้ามีตัวประกอบ n ชุด ผลคูณของตัวประกอบจะเท่ากับ จำนวนนั้นยกกำลัง n” เช่น 28 มีตัวประกอบ 2 ชุด ผลคูณของตัวประกอบจะเท่ากับ 1 x 2 x 4 x 7 x 14 = 28² = 784)

ทั้งนี้และทั้งนั้นก็ต้องขอบคุณ “จ้ำ” ที่ช่วยคิดและช่วยถาม ทำให้เกิดการคิดต่อและแก้ไขความผิดพลาดเผอเรอของคนแปล ขอบคุณมากค่ะ :)