จำนวนเต็ม เศษส่วน แล้วยังมีอะไรอีก?

แต่พวกพีธากอเรียนรู้จักมากกว่าจำนวนเต็มและเศษส่วน (จำนวนอย่าง 1/2, 1/3, 5/8, 147/1769 เป็นต้น) ซึ่งเป็นที่เป็นที่รู้จักในสมัยโบราณทั้งในอาณาจักรแบ็บบิลอนและอียิปต์ พวกพีธากอเรียนเป็นผู้ค้นพบจำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) ซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน แต่ต้องเขียนในรูปทศนิยมที่ไม่รู้จบและไม่ซ้ำ

ตัวอย่างหนึ่งของจำนวนอตรรกยะ คือ ค่าไพ (3.141592654...) ซึ่งเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง ค่าของไพเป็นค่าที่ไม่รู้จบและคงต้องใช้เวลานิรันดรในการจะเขียนค่าของมันให้ครบถ้วนเนื่องจากมีตัวเลขหลังจุดทศนิยมที่แตกต่างกันจำนวนไม่สิ้นสุด

ดังนั้นเวลาจะเขียนค่าของมันเราก็มักจะเขียนว่า ไพ (p) หรืออาจจะเขียนเป็นเลขทศนิยมถึงตำแหน่งที่จำกัด เช่น 3.14 หรือ 3.1415 ก็ได้

ในศตวรรษนี้เราใช้คอมพิวเตอร์คำนวณและเขียนค่าไพไปได้ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ล้านหรือมากกว่านั้น แต่ก็แทบจะไม่มีความจำเป็นอะไรที่จะต้องทำเช่นนั้น

ค่าไพเป็นที่รู้จักกันเป็นค่าประมาณที่แตกต่างกันไปในหมู่ชาวแบ็บบิโลเนียนและชาวอียิปต์ตั้งแต่สองมิลเลนเนียมก่อนคริสต์ศักราช พวกเขาประมาณค่าไพคร่าวๆ ไว้ประมาณ 3 และเป็นค่าที่เกิดขึ้นอย่างเป็นธรรมชาติโดยเป็นผลต่อเนื่องจากการค้นพบวงล้อ ค่าไพยังเกิดขึ้นจากการวัดค่าต่างๆ ของปีรามิดอีกด้วย

แม้กระทั่งในคัมภีร์ไบเบิลเก่า (Old Testament) ก็มีข้อความที่มีนัยพาดพิงถึงค่าไพ โดยใน Kings 1,7:23 เราได้อ่านเกี่ยวกับการสร้างผนังที่เป็นทรงกลม ซึ่งจากค่าของเส้นรอบวงและเส้นผ่านศูนย์กลางที่เขียนไว้ ทำให้เราสรุปได้ว่า ชาวอิสราเอลโบราณ คิดว่าไพมีค่าประมาณ 3

พวกพีธากอเรียนพบว่า ค่ารากที่สองของ 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ จากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสเข้ากับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านสองด้านยาวด้านละ 1 หน่วย พวกพีธากอเรียนพบว่าค่าของด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นจำนวนประหลาด: รากที่สองของ 2

พวกเขาสามารถบอกได้ว่าจำนวนนี้นอกจากจะไม่เป็นจำนวนเต็มบวกแล้วยังไม่เป็นเศษส่วนด้วย แต่เป็นจำนวนที่มีเลขหลังจุดทศนิยมที่ไม่รู้จบและไม่ซ้ำกัน

และเช่นเดียวกับค่าของไพ การจะเขียนค่าที่แท้จริงของรากที่สองของ 2 (1.414213562...) จะต้องใช้เวลาไม่สิ้นสุด เนื่องจากมีตัวเลขไม่จำกัดและไม่มีลำดับที่แน่นอน (แทนที่จะมีตัวเลขเรียงลำดับซ้ำๆ กันเป็นชุดๆ อย่าง 1.857142857142857142857142857... เป็นต้น ซึ่งเราสามารถจะอธิบายค่าของมันได้โดยไม่จำเป็นต้องเขียนตัวเลขครบทุกหลัก)

จำนวนใดๆ ก็ตามที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมซ้ำกันเป็นชุด (ในที่นี้ชุดตัวเลข 857142 ซ้ำกันไปเรื่อยๆ ไม่รู้จบ) เป็นจำนวนตรรกยะ (Rational Number) ซึ่งหมายถึงจำนวนที่สามารถเขียนในรูปของ a/b หรือเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนได้

ในตัวอย่างนี้จำนวนเต็มบวกสองจำนวนคือ 13 และ 7 อัตราส่วนของ 13/7 เท่ากับ 1.857142857142857142857142… ชุดตัวเลข 857142 จะซ้ำกันไปไม่รู้จบ

การค้นพบความเป็นอตรรกยะของรากที่สองของ 2 สร้างความประหลาดใจและตื่นเต้นให้กับผู้ที่บูชาจำนวนเหล่านี้เป็นอันมาก พวกเขาสาบานว่าจะไม่เปิดเผยให้คนอื่นที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของสมาคมทราบ แต่ความลับก็รั่วไหลออกไป และมีตำนานว่ากันว่าตัวพีธากอรัสเองเป็นคนปลิดชีวิตสมาชิกที่เปิดเผยความลับเกี่ยวกับจำนวนที่แปลกประหลาดอย่างจำนวนอตรรกยะ โดยการกดให้จมน้ำตาย

จำนวนต่างๆ บนเส้นบอกจำนวนมีอยู่ 2 ประเภท คือ จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ เวลาที่มองดูจำนวนทั้งสองประเภทนี้ด้วยกัน มันจะเติมเต็มในเส้นบอกจำนวนได้โดยไม่เกิดที่ว่าง จำนวนเหล่านี้อยู่ใกล้กันมากๆ มากจนแทบจะแยกจากไม่ได้

จำนวนตรรกยะจะมีอยู่ในทุกที่และหนาแน่นอยู่ในจำนวนเต็ม ในบริเวณใกล้ๆ ในทุกๆ ช่องว่างของจำนวนตรรกยะก็จะมีจำนวนอตรรกยะแทรกอยู่ และในทางกลับกันระหว่างจำนวนอตรรกยะก็จะมีจำนวนตรรกยะแทรกอยู่เช่นกัน

ทั้งจำนวนในกลุ่มของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะมีอยู่ไม่จำกัด แต่จำนวนที่เป็นอตรรกยะจะมีอยู่มากมาย จึงทำให้มีจำนวนอตรรกยะอยู่มากกว่าจำนวนตรรกยะ หรือดีกรีของความไม่จำกัดของจำนวนอตรรกยะจะสูงกว่า

ข้อเท็จจริงนี้ถูกประกาศออกมาในศตวรรษที่ 1800 โดยนักคณิตศาสตร์ชื่อเกอ็อร์ค คานทอร์ (Goerg Cantor: 1845–1918) ในขณะนั้นมีคนไม่มากที่เชื่อคานทอร์ ฝ่ายปฏิปักษ์คนสำคัญของคานทอร์ คือ เลโอโปลท์ โครเน็คเคอร์ (Leopold Kronecker: 1823–1891) ทั้งเยาะเย้ยและเหน็บแนมทฤษฎีของคานทอร์ที่ว่าด้วยปริมาณของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

ชื่อของโครเน็คเคอร์เป็นที่รู้จักเพราะกล่าวคำพูดที่ว่า “พระเจ้าสร้างจำนวนเต็มบวกขึ้นมา และอื่นๆ ที่เหลือเป็นผลงานของมนุษย์” หมายถึงว่า เขาไม่เชื่อแม้กระทั่งว่าจำนวนอตรรกยะอย่างรากที่สองของสองมีอยู่จริง! (และนี่เกิดขึ้นหลังจากยุคสมัยของพวกพีธากอเรียนมากกว่าสองมิลเลนเนียม)

ความเป็นปรปักษ์ของเขาต่อคานทอร์ถูกตำหนิสังคมอย่างมากว่าเป็นการขัดขวางไม่ให้คานทอร์ได้รับตำแหน่งอาจารย์ในสถาบันอันมีเกีรยติอย่างมหาวิทยาลัยเบอร์ลิน และเป็นต้นเหตุของอาการเสียสติที่คานทอร์ เป็นบ่อยๆ จนในที่สุดต้องเข้ารับการรักษาในสถานพยาบาลคนโรคจิต

ในปัจจุบันนักคณิตศาสตร์ทุกคนรู้แล้ว่าความคิดของคานทอร์ถูกต้อง และมีจำนวนอตรรกยะอยู่มากมายกว่าจำนวนตรรกยะอย่างไม่จำกัด ถึงแม้ว่าจำนวนทั้งสองประเภทจะมีปริมาณไม่จำกัดก็ตาม

แต่ชาวกรีกโบราณมีความรู้มากเท่านี้ด้วยหรือเปล่า?

ระหว่างจำนวนตรรกยะ คือ จำนวนอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ เป็น เศษส่วน

« ตอนที่แล้ว – ตอนต่อไป »