พ่อค้าในยุคกลางกับส่วนแบ่งโกลเด้น

พวกอาหรับมีความสนใจเกี่ยวกับโจทย์ปัญหาที่มีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับโจทย์ปัญหาของไดโอแฟนตัสในการหาสูตรตรีคูณพีธากอรัส โจทย์ที่ว่าคือการหาสูตรตรีคูณพีธากอรัสโดยที่พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากจะต้องเป็นจำนวนเต็มบวกด้วย หลายร้อยปีต่อมา ปัญหานี้ได้มาปรากฏเป็นพื้นฐานอยู่ในหนังสือที่ชื่อ Liber Quadratorum ที่เขียนขึ้นในปี 1225 โดยเลโอนาร์โดแห่งปิซ่า (ค.ศ. 1880–1250) เลโอนาร์โดผู้นี้เป็นที่รู้จักมากกว่าในชื่อ ฟิโบนัคชี (Fibonacci) ซึ่งมีความหมายว่า บุตรชายของ โบนัคชิโอ (Bonaccio)

ฟิโบนัคชีเป็นพ่อค้าระดับนานาชาติที่กำเนิดขึ้นในเมืองปิซ่า เขาได้ไปอาศัยอยู่ในแอฟริกาเหนือและเมืองคอนสแตนติโนเปิล การเดินทางมากมายไปทั่วสารทิศตลอดชีวิตของเขา ทำให้เขาได้ไปเยือนโปรวองซ์ ซิซิลี ซีเรีย อียิปต์ และที่อื่นๆ อีกมากในแถบเมดิเตอร์เรเนียน และด้วยการเดินทางและความสัมพันธ์อันดีกับพวกผู้ดีในวงสังคมของชาวเมดิเตอร์เรเนียนขณะนั้นทำให้เขาได้พบและสัมผัสกับแนวความคิดทางคณิตศาสตร์ของพวกอาหรับ รวมทั้งวัฒนธรรมของชาวกรีกและโรมัน ตอนที่จักรพรรดิเฟรเดอริคที่สองมาประพาสเมืองปิซ่า ฟิโบนัคชีได้ถูกนำเข้าเฝ้าพระจักรพรรดิและกลายเป็นหนึ่งในสมาชิกข้าราชบริพาร

นอกจาก Liber Quadratorum แล้ว ฟิโบนัคชียังเป็นที่รู้จักจากหนังสืออีกเล่มหนึ่งที่เขาเขียนขึ้นในช่วงเดียวกัน คือ Liber Abaci โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมพีธากอรัสในหนังสือของฟิโบนัคชียังไปปรากฏอยู่ในเอกสารต้นฉบับที่เป็นลายมือเขียนของพวกไบแซนไทน์ในศตวรรษที่สิบเอ็ด ซึ่งเอกสารนี้ปัจจุบันถูกเก็บอยู่ในห้องสมุดที่พระราชวังเก่าในกรุงอิสตันบุล มันอาจจะเป็นเรื่องของความบังเอิญก็ได้ แต่ในขณะเดียวกัน มันก็อาจจะเป็นไปได้ว่าฟิโบนัคชีอาจจะได้พบเห็นหนังสือเล่มเดียวกันในเมืองคอนสแตนติโนเปิลตอนที่เขาเดินทางไปที่นั่นก็เป็นได้

ชื่อของฟิโบนัคชีเป็นที่รู้จักอย่างดีที่สุดจากลำดับของจำนวนที่มีชื่อเรียกตามชื่อของเขา นั่นก็คือ จำนวนฟิโบนัคชี จำนวนเหล่านี้เกิดขึ้นจากโจทย์ปัญหาต่อไปนี้ที่ปรากฏในหนังสือ Liber Abaci:

จะมีกระต่ายเกิดขึ้นกี่คู่ในหนึ่งปี ถ้าเริ่มต้นจากกระต่ายหนึ่งคู่ และในทุกๆ เดือนกระต่ายแต่ละคู่จะคลอดลูกกระต่ายออกมาคู่หนึ่ง โดยกระต่ายคู่ใหม่ที่เกิดจะสามารถคลอดลูกได้ในเดือนที่สองเป็นต้นไป

อันดับฟิโบนัคชี ซึ่งได้จากคำตอบของโจทย์ข้อนี้ คือ ชุดจำนวนที่แต่ละพจน์หลังจากพจน์ที่หนึ่งจะเกิดจากการบวกตัวเลขสองตัวที่อยู่ก่อนหน้ามันเข้าด้วยกัน อันดับนี้คือ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

อันดับนี้ (ซึ่งจะต้องดูค่าที่เกินจาก 12 เดือนโจทย์ข้างต้นไปด้วย) มีคุณสมบัติที่สำคัญอย่างคาดไม่ถึง เป็นที่น่าอัศจรรย์ว่า อัตราส่วนของจำนวนที่ติดกันจะมีค่าเข้าใกล้สัดส่วนโกลเด้น อัตราส่วนเหล่านี้คือ 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89, 89/144, ไปเรื่อยๆ สังเกตว่าผลลัพธ์ของเลขเหล่านี้จะเข้าใกล้ Ö5-1)/2 ซึ่งก็คือสัดส่วนโกลเด้น จำนวนนี้ยังสามารถจะหาได้จากการกดเครื่องคิดเลข 1/1 + 1/1 + 1/... ตามที่กล่าวไปแล้วก่อนหน้านี้ และคงไม่ลืมว่าส่วนกลับ (1/x) ของสัดส่วนโกลเด้นคือจำนวนเดียวกันที่ลบด้วย 1

อันดับของฟิโบนัคชีปรากฏขึ้นในทุกหนทุกแห่งของธรรมชาติ ใบไม้บนกิ่งไม้โตขึ้นด้วยระยะห่างจากกันสัมพันธ์กับอันดับฟิโบนัคชี อันดับฟิโบนัคชีมีอยู่ในดอกไม้ทั่วไป ในดอกไม้ส่วนใหญ่ จำนวนกลีบจะเป็น 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, หรือ 89 ดอกลิลลี่มี 3 กลีบ บัตเตอร์คัพมี 5 กลีบ เดลฟีเนียมมี 8 กลีบ แมรี่โกลด์มี 13 กลีบ แอสเตอร์มี 21 กลีบ เดซี่มักจะมี 34 หรือ 55 หรือไม่ก็ 89 กลีบ

จำนวนของฟิโบนัคชีมีอยู่ในดอกทานตะวันด้วย เกสรด้านในที่จะกลายเป็นเมล็ดทานตะวันจะมีการจัดเรียงตัวกันเป็นเส้นเวียนแบบก้นหอย (สไปรัล) สองชุด ชุดหนึ่งจะเวียนตามเข็มนาฬิกา อีกชุดหนึ่งจะเวียนทวนเข็มนาฬิกา จำนวนของสไปรัลที่เวียนตามเข็มนาฬิกามักจะเป็น 34 และที่ทวนเข็มจะเป็น 55 บางทีจำนวนสไปรัลนี้ก็จะเป็น 55 กับ 89 และบางครั้งก็เป็น 89 กับ 144 ทั้งหมดนี้ก็คือจำนวนฟิโบนัคชีสองจำนวนที่ติดกัน (ซึ่งอัตราส่วนของมันจะเข้าใกล้สัดส่วนโกลเด้น)

เอียน สจ๊วตกล่าวไว้ใน Natures Numbers ว่า เมื่อมีการเกิดสไปรัลขึ้น มุมระหว่างสไปรัลจะเท่ากับ 137.5 องศา ซึ่งก็คือจำนวน 360 องศาคูณกับหนึ่งลบด้วย อัตราส่วนโกลเด้น และมันยังทำให้เกิดจำนวนฟิโบนัคชีสองจำนวนที่ติดกันสำหรับจำนวนของสไปรัลที่ตามเข็มและทวนเข็มนาฬิกา ดังที่แสดงในรูปข้างล่างนี้

ถ้าวาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีของด้านยาวต่อด้านกว้างเป็นอัตราส่วนโกลเด้นต่อกัน รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้จะสามารถแบ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอีกรูปหนึ่ง รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่สองจะมีความเสมือนกับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปใหญ่ และจะมีอัตราส่วนของด้านทั้งสองเป็นอัตรส่วนโกลเด้นด้วย นอกจากนี้สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปเล็กก็ยังสามารถถูกแบ่งเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและส่วนที่เหลือก็จะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีอัตราส่วนด้านเท่ากับอัตราส่วนโกลเด้นอีก เป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ สไปรัลที่เกิดจากการลากเส้นจากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าต่อกันไปเรื่อยๆ จะเป็นสไปรัลที่พบเห็นได้บ่อยๆ ในเปลือกหอย ในการเรียงตัวกันของเกสรดอกทานตะวันอย่างที่กล่าวไปแล้ว และในการเรียงตัวกันของใบไม้บนกิ่งไม้

สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีสัดส่วนที่น่าประทับใจ สัดส่วนโกลเด้นไม่ได้มีอยู่แต่ในธรรมชาติเท่านั้นแต่มีปรากฏในงานศิลปะในฐานะอุดมคติอันสูงส่งแห่งความงาม มันมีความเกี่ยวกับเทพเจ้าอยู่ในอันดับนี้ และความจริงในสมาคมของฟิโบนัคชี ซึ่งยังคงมีอยู่ในปัจจุบันนี้ จะมีหัวหน้าเป็นพระและมีศูนย์กลางอยู่ที่วิทยาลัึยเซนต์แมรี่ส์ในแคลิฟอร์เนีย สมาคมนี้อุทิศตัวให้กับการค้นหาตัวอย่างของสัดส่วนโกลเด้นและอันดับของฟิโบนัคชีในธรรมชาติ ในงานศิลปะและสถาปัตยกรรม ด้วยความเชื่อที่ว่าอัตราส่วนนี้ เป็นของขวัญที่พระเจ้าประทานให้กับโลกนี้ ในฐานะที่เป็นอุดมคติแห่งความงาม สัดส่วนโกลเด้น ปรากฏอยู่ในสถานที่อย่างเช่น วิหารพาเธนอนที่เมืองเอเธนส์ อัตราส่วนความสูงของวิหารพาเธนอนต่อความยาวของมัน มีค่าเท่ากับ สัดส่วนโกลเด้น

วิหารพาเธนอน กรุงเอเธนส์ ประเทศกรีก

มหาปีรามิดที่เมืองกีซ่า ซึ่งถูกสร้างขึ้นหลายร้อยปีก่อนวิหารพาเธนอนของกรีก มีด้านที่ประกอบเป็นปีรามิดที่มีอัตราส่วนความสูงต่อครึ่งหนึ่งของความยาวฐาน เท่ากับสัดส่วนโกลเด้น บันทึกบนกระดาษบันทึกพาไพรัสของของชาวอียิปต์ก็มีการอ้างถึง “อัตราส่วนอันศักดิ์สิทธิ์” ทั้งอนุสาวรีย์ในยุคโบราณและภาพเขียนในยุคเรเนสซองซ์แสดงให้เห็นอัตราส่วนที่เท่ากับสัดส่วนโกลเด้น หรืออัตราส่วนแห่งสวรรค์

สัดส่วนโกลเด้นเป็นสิ่งที่ผู้คนค้นหาในฐานะอุดมคติแห่งความงามเกินขีดไปกว่าแค่ในบรรดาดอกไม้หรือผลงานสถาปัตยกรรม ในจดหมายถึงสมาคมฟิโบนัคชีเมื่อหลายปีก่อนนี้ สมาชิกคนหนึ่งได้บรรยายถึงการที่คนคนหนึ่งพยายามจะค้นหาสัดส่วนโกลเด้น โดยขอให้คู่สามีภรรยาหลายๆ คู่ร่วมทำการทดลอง สามีได้ถูกขอให้วัดความสูงของสะดือของภรรยาและหารด้วยความสูง ผู้เขียนพบว่าในทุกคู่ที่ทำการทดลอง อัตราส่วนที่ได้จะใกล้เคียงกับ 0.618

« ตอนที่แล้ว – ตอนต่อไป »

---

อัตราส่วนแห่งสวรรค์ (Divine Ratio) เป็นคำที่เราแอบยืมมาจาก รหัสลับดาวินชี ฉบับแปลของหนังสือ The Da Vinci Code ที่กำลังดังเกรียวกราวทั้งในภาคภาษาอังกฤษและภาคภาษาไทย

อัตราส่วนอันที่ว่านี้ ถ้าเราจำไม่ผิด ก็มีการกล่าวถึงในหนังสือ รหัสลับดาวินชี ด้วย ประมาณตอนที่พระเอกบรรยายให้นักศึกษาฟังความมหัศจรรย์ของ “สัดส่วนแห่งสวรรค์” และถ้าเราจำไม่ผิดอัตราส่วนนี้ไม่ได้จำกัดอยู่แค่กับผู้หญิง (ที่เป็นภรรยา...) แต่เป็นอัตราส่วนทั้งในผู้หญิงและผู้ชาย