| � |
| 5 ����ͧ����ش |
| � |
| ����ͧ���� �觵����Ǣ������ |
| English |
| SGfSE |
| @Work |
| F.L.T.��**Update** |
| Health |
| Miscellaneous |
| � |
| �ʴ������Դ��� |
| �ʵ��� |
| ��纺��� |
| � |
| ���ʹѺʹع |
| �������Ź�� |
| � |
สี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ และมิติที่สูงกว่านั้น
ทฤษฎีบท คือ ประพจน์ (statement) ที่มีบทพิสูจน์ แฟร์มาต์อ้างว่ามี “บทพิสูจน์อันแสนมหัศจรรย์” แต่เนื่องจากไม่มีใครได้เห็นและไม่มีใครได้ตรวจสอบบทพิสูจน์นั้น เราจึงไม่สามารถเรียกประพจน์ของเขาว่าทฤษฎีบทได้ ประพจน์อาจจะมีความหมายลึกซึ้งและมีความสำคัญอย่างยิ่ง แต่ถ้าปราศจากบทพิสูจน์แล้ว มันจะต้องถูกเรียกว่า ข้อความคาดการณ์ (conjecture) หรือ สมมติฐาน (hypothesis) เมื่อข้อความคาดการณ์ได้รับการพิสูจน์แล้ว จึงจะสามารถเรียกว่าเป็นทฤษฎีบทได้ หรืออาจจะเรียกว่า บทตั้ง (lemma) ถ้าเป็นประพจน์ที่มีการพิสูจน์เบื้องต้นซึ่งจะนำไปสู่ทฤษฎีบทที่ลึกซึ้งกว่านั้น ส่วนผลลัพธ์ซึ่งได้มีการพิสูจน์แล้วและเป็นผลต่อเนื่องต่อจากทฤษฎีบท จะเรียกว่า อนุนัยหรือบทเทียบ (corollary)
แฟร์มาต์ได้นำเสนอประพจน์เอาไว้มากมาย และหนึ่งในประพจน์เหล่านั้นคือ 22n+1 จะเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ ข้อความคาดการณ์นี้ไม่เป็นทฤษฎีบท เพราะนอกจากมันจะไม่มีบทพิสูจน์แล้ว ในภายหลังยังมีการพิสูจน์ว่ามันผิดอีกด้วย การพิสูจน์เกิดขึ้นในศตวรรษต่อมาโดยนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ชาวสวิสชื่อเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler – ค.ศ. 1707-1783) ดังนั้นเราจึงไม่มีเหตุผลที่ฟังมีน้ำหนักพอที่จะเชื่อว่า “ทฤษฎีบทข้อสุดท้าย” จะเป็นจริง มันอาจจะเป็นจริง หรืออาจจะเป็นเท็จก็ได้
ใครก็ตามที่ต้องการจะพิสูจน์ว่าทฤษฎีบทข้อสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นเท็จ ก็เพียงแค่หาจำนวนเต็มบวกสามจำนวน a, b, และ c และเลขยกกำลัง n ที่มากกว่า 2 ที่ทำให้ความสัมพันธ์ an + bn = cn เป็นจริง แต่ก็ยังไม่มีใครสามารถหาชุดของจำนวนเต็มบวกนี้ได้ (อย่างไรก็ตาม การสันนิษฐานว่าชุดจำนวนดังกล่าวมีอยู่จริง เป็นพื้นฐานหลักในการพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในภายหลัง) และเมื่อถึงช่วงค.ศ. 1990 ได้มีการแสดงว่าไม่มีชุดของจำนวนเต็มบวก 3 จำนวนสำหรับค่า n ใดๆ ที่น้อยกว่าสี่ล้าน แต่นั่นก็ไม่ได้หมายความว่าเราจะไม่สามารถหาชุดของจำนวนเต็มบวก 3 จำนวนดังกล่าวได้เลย การพิสูจน์ทฤษฎีบทจะต้องได้กระทำกับทุกๆ จำนวนเต็มบวกและกับทุกๆ เลขยกำลัง
ตัวแฟร์มาต์เองสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทข้อสุดท้ายของเขาได้ เขาใช้วิธีการอันชาญฉลาดที่เรียกว่า infinite-descent เพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก a, b, และ c ที่สามารถจะทำให้ a4 + b4 = c4 เป็นจริง เขายังพิสูจน์ได้ว่าถ้ามีชุดตัวเลขที่ทำให้ความสัมพันธ์เป็นจริงสำหรับเลขยกกำลัง n ใดๆ แล้ว ก็จะมีชุดตัวเลขที่ทำให้ความสัมพันธ์เป็นจริงกับเลขยกกำลังที่เป็นตัวคูณของ n ด้วย ดังนั้นเราจึงไม่จำเป็นต้องพิจารณาเลขยกกำลังทุกจำนวน เแต่สามารถจะพิจารณาเฉพาะเลขยกกำลังที่เป็นจำนวนเฉพาะ (ที่มากกว่า 2) เท่านั้น เพราะจำนวนเฉพาะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถหารด้วยจำนวนอื่นแล้วได้ผลลัพธ์ลงตัวเป็นจำนวนเต็ม นอกจากเลข 1 กับตัวมันเอง จำนวนเฉพาะจำนวนแรกๆ คือ 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... ซึ่งจำนวนเหล่านี้ไม่สามารถหารด้วยเลขจำนวนอื่นนอกจาก 1 และตัวมันเองแล้วได้ผลลัพธ์ลงตัว ตัวอย่างของเลขที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะคือ 6 เนื่องจาก 6 หารด้วย 3 ได้ 2 ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก
แฟร์มาต์สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาสำหรับกรณี n = 3 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler – ค.ศ. 1707-1783) สามารถพิสูจน์กรณี n = 3 และ n = 4 ได้เองโดยไม่ได้อาศัยวิธีการของแฟร์มาต์ ปีเตอร์ กุสตาฟ เลอเจิน ดีรีเคล่ท์ (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) สามารถพิสูจน์กรณี n = 5 ได้ในปีค.ศ. 1828 และอาเดรียน มารี เลอเจินเดรอะ (Adrien-Marie Legendre) ก็สามารถพิสูจน์กรณีเดียวกันได้ในปีค.ศ. 1830 ส่วนกาเบรียล ลาเม (Gabriel Lamé) ได้พยายามพิสูจน์กรณี n = 7 และต่อมาอองรี เลอเบส์ก (Henri Lebesgue) แก้ไขบทพิสูจน์ของลาเมให้ถูกต้องในปีค.ศ. 1840
แสดงว่า 200 ปีหลังจากที่แฟร์มาต์เขียนข้อความของเขาไว้ที่ขอบกระดาษในหนังสือของไดโอแฟนตัส ทฤษฎีบทของเขาเพิ่งได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจริงกับค่าเลขยกกำลังที่ 3, 4, 5, 6 และ 7 เท่านั้น ระยะทางยังอีกยาวไกลกว่าจะไปถึงจำนวนอนันต์ เห็นได้ชัดเจนว่าถ้าเราจะหาบทพิสูจน์สำหรับเลขยกกำลัง n ทั้งหมด สิ่งที่เราต้องการก็คือบทพิสูจน์สามัญที่จะใช้ได้กับทุกๆ เลขยกกำลัง ไม่ว่าเลขจำนวนนั้นจะมีค่ามากน้อยเท่าไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ทั้งหลายต่างพยายามค้นหาบทพิสูจน์สามัญที่ยากจะอธิบายนี้ แต่โชคร้ายสิ่งที่พวกเขาค้นพบเป็นเพียงบทพิสูจน์เฉพาะกรณีสำหรับบางค่าของเลขยกกำลังเท่านั้น