| � |
| 5 ����ͧ����ش |
| � |
| ����ͧ���� �觵����Ǣ������ |
| English |
| SGfSE |
| @Work |
| F.L.T.��**Update** |
| Health |
| Miscellaneous |
| � |
| �ʴ������Դ��� |
| �ʵ��� |
| ��纺��� |
| � |
| ���ʹѺʹع |
| �������Ź�� |
| � |
FLT0026 แฟร์มาต์ตอนที่ 26 – สะพานเจ็ดสะพานแห่งเมืองเคอนิกสเบิร์ก
สะพาน 7 สะพานแห่งเมืองเคอนิกสเบิร์ก
ออยเลอร์เป็นคนที่มีวิสัยทัศน์อย่างเหลือเชื่อในวิชาคณิตศาสตร์ แนวความคิดของเขามีอยู่มากมาย ผลงานบุกเบิกของเขาเกี่ยวกับจำนวนจินตภาพ (และสิ่งที่สมัยนี้เรียกกันว่าการวิเคราะห์แบบเชิงซ้อน) จึงไม่ใช่นวัตกรรมเพียงอย่างเดียวของเขา เขาได้ทำงานขั้นบุกเบิกในสาขาซึ่งแม้แต่ในศตวรรษนี้ได้กลายเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในวงการคณิตศาสตร์ และในความพยายามที่จะแก้ปริศนาลี้ลับของแฟร์มาต์ สาขาที่ว่านี้คือ ทอพอโลยี (topology) ซึ่งเป็นทฤษฎีทางภาพของโครงสร้างเชิงพื้นที่ซึ่งจะยังคงรูปอยู่เมื่อถูกแปลงโดยฟังก์ชั่นต่อเนื่อง ทอโพโลยีเป็นการศึกษาเกี่ยวกับรูปทรงและรูปแบบ โดยเป็นรูปทรงและรูปแบบที่ซับซ้อนและยากที่จะคาดเดา และมีความเกี่ยวข้องกับมิติที่สี่, มิติที่ห้า, หรือสูงกว่า ซึ่งจะมากกว่ารูปแบบสามมิติที่เราพบเจอ เนื่องจากทอพอโลยีมีความสำคัญต่อความเข้าใจสมการของแฟร์มาต์เป็นอันมาก แม้ว่ามันจะดูไม่เกี่ยวข้องกับสมการเลยก็ตาม เราจึงจะกลับมากล่าวถึงแขนงวิชาที่น่าตื่นตาตื่นใจนี้อีกครั้งตอนที่เราพูดถึงวิธีการสมัยใหม่ที่ใช้ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์
ช่วงก่อนที่จะมีการพัฒนาความรู้เกี่ยวกับทอพอโลยี ผลงานของออยเลอร์ในสาขานี้คือโจทย์ปัญหาอันโด่งดังที่มีชื่อว่า สะพานเจ็ดสะพานแห่งเคอนิกสเบิร์ก (Seven Bridges of Königsberg) โจทย์นี้นับเป็นปริศนาที่ก่อให้เกิดความสนใจอย่างมากในวิชาทอพอโลยี ในสมัยที่ออยเลอร์ยังมีชีวิตอยู่ มีสะพานเจ็ดแห่งสำหรับข้ามแม่น้ำพรีเกิล (Pregel River) ในเมืองเคอนิกสเบิร์ก สะพานเหล่านี้เป็นดังรูปข้างล่างนี้
ออยเลอร์ตั้งคำถามขึ้นมาว่า มันเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเดินข้ามสะพานครบทั้งเจ็ดสะพาน โดยไม่เดินข้ามสะพานใดสะพานหนึ่งซ้ำสอง คำตอบคือ เป็นไปไม่ได้ ปัญหาอื่นซึ่งมีการศึกษาในยุคใหม่และมีความพยายามในการคิดหาคำตอบกันมากขึ้นเนื่องจากความสนใจในโจทย์ปัญหาสะพานเจ็ดสะพาน ก็คือโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับการระบายสีแผนที่ นักทำแผนที่ได้วาดแผนที่โลกขึ้นมา ในแผนที่นี้แต่ละประเทศจะถูกระบายสีที่แตกต่างกันเพื่อแยกอาณาเขตของมันออกจากประเทศเพื่อนบ้าน ประเทศสองประเทศหรือรัฐสองรัฐใดๆ ก็ตามที่ไม่ได้มีพรหมแดนติดกันอาจจะใช้สีเดียวกันได้ คำถามก็คือ จะต้องใช้สีอย่างน้อยที่สุดกี่สีที่จะทำให้ประเทศที่มีพรมแดนติดกันไม่มีสีซ้ำกัน แน่นอนว่านี่เป็นปัญหากว้างๆ ที่ไม่ได้ระบุว่าแผนที่โลกจะต้องมีหน้าตาเป็นอย่างไร คำถามที่แท้จริงก็คือ ถ้าพิจารณาทุกๆ ความเป็นไปได้ในการทำแผนที่ในแนวระนาบ จำนวนสีที่น้อยที่สุดที่จะใช้ได้คือเท่าไหร่ ถ้าเราลองพิจารณาถึงรัฐต่างๆ ในอดีตประเทศยูโกสลาเวียหรือประเทศต่างๆ ในตะวันออกกลาง ซึ่งมีเส้นแบ่งพรมแดนระหว่างแต่ละรัฐหรือหน่วยการปกครองที่ค่อนข้างจะซับซ้อน คำถามกว้างๆ แบบนี้กลายเป็นคำถามเกี่ยวของกับการประยุกต์ใช้งานจริงเป็นอย่างยิ่ง
แต่ในมุมมองของคณิตศาสตร์ นี่เป็นโจทย์ปัญหาทางทอพอโลยี ในเดือนตุลาคมปีค.ศ. 1852 ฟรานซิส กุทธรีได้พยายามระบายสีประเทศอังกฤษ เขาสงสัยว่าจำนวนสีที่น้อยที่สุดที่จะต้องใช้เป็นเท่าไหร่สำหรับแยกมณฑลต่างๆ เขาคิดว่าจำนวนสีควรจะเป็น 4 สี ในปีค.ศ. 1879 ได้มีบทพิสูจน์ออกมาว่า จำนวนสีน้อยที่สุดคือ 4 สีจริงๆ แต่ต่อมาได้มีการค้นพบว่าบทพิสูจน์นั้นเป็นเท็จ จนกระทั่งเกือบหนึ่งศตวรรษต่อมา ในปีค.ศ. 1976 นักคณิตศาสตร์สองคนคือ เฮเคนและแอพเพล (Haken and Appel) ได้แสดงบทพิสูจน์ที่ต่อมาเป็นที่รู้จักกันในชื่อว่า ปัญหาแผนที่สี่สี (Four Coulor Map Problem) อย่างไรก็ตาม จนถึงปัจจุบันนี้บทพิสูจน์ของพวกเขาก็ยังเป็นที่ถกเถียงและกังขาอยู่มาก เนื่องจากมันใช้ผลของการคำนวณทางคอมพิวเตอร์มากกว่าใช้หลักตรรกะทางคณิตศาสตร์
Topology: The study of the properties of geometric figures or solids that are not changed by homeomorphisms, such as stretching or bending. Donuts and picture frames are topologically equivalent, for example.