| � |
| 5 ����ͧ����ش |
| � |
| ����ͧ���� �觵����Ǣ������ |
| English |
| SGfSE |
| @Work |
| F.L.T.��**Update** |
| Health |
| Miscellaneous |
| � |
| �ʴ������Դ��� |
| �ʵ��� |
| ��纺��� |
| � |
| ���ʹѺʹع |
| �������Ź�� |
| � |
เกาส์ อัจฉริยะชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่
บทพิสูจน์ทฤษฎีบทแฟร์มาต์ของออยเลอร์สำหรับ n = 3 (หรือสำหรับลูกบาศก์) ซึ่งว่ากันว่ามีข้อผิดพลาดนั้นได้ถูกแก้ไขโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss 1777 – 1855) ในขณะที่นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในช่วงเวลานั้นส่วนใหญ่เป็นชาวฝรั่งเศส แต่เกาส์ซึ่งแน่นอนว่าจัดเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในช่วงนั้นอย่างไม่มีข้อโต้แย้ง – และบางทีจัดเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาลได้ด้วย ถึงแม้อาจจะมีคนโต้แย้งบ้างเล็กน้อย – เป็นชาวเยอรมันอย่างจริงแท้แน่นอน และจะว่าไปแล้วเขาไม่เคยออกนอกประเทศเยอรมันเลยด้วยซ้ำ แม้แต่จะเป็นแค่การไปเยือนที่อื่นเพียงชั่วครั้งชั่วคราว
เกาส์เป็นหลานของชาวบ้านที่ค่อนข้างยากจน และเป็นลูกชายของกรรมกรในเมืองบรุนสวิค (Brunswick) พ่อของเขาค่อนข้างจะเข้มงวดกับเขา ในขณะที่แม่จะคอยปกป้องและสนับสนุนลูกชาย คาร์ลในวัยเด็กยังได้รับการดูแลเลี้ยงดูจากลุงของเขาที่ชื่อฟรีดริช (Friedrich) ซึ่งเป็นพี่ชายของโดโรเธีย (Dorothea) แม่ของเกาส์ ลุงคนนี้มีฐานะที่ร่ำรวยกว่าพ่อแม่ของคาร์ล และมีชื่อเสียงในฐานะช่างทอผ้า ตอนอายุ 3 ขวบ คาร์ลดูลุงของเขาบวกเลขในสมุดบัญชีรายรับรายจ่าย แล้วเขาก็ขัดจังหวะขึ้นว่า “ลุงฟรีดริชครับ ผลบวกตรงนี้มันไม่ถูก” ลุงของเขาตกตะลึง ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมาลุงก็ทำทุกอย่างเท่าที่จะทำได้เพื่อสนับสนุนการศึกษาและดูแลเลี้ยงดูอัจฉริยะตัวน้อย ถึงแม้ว่าที่โรงเรียนความสามารถของเกาส์จะฉายแววอย่างเด่นชัด แต่ก็มีบางครั้งที่ความประพฤติของเขาไม่เป็นที่น่าพึงใจ วันหนึ่งครูของเขาลงโทษเด็กชายเกาส์โดยบอกให้เขานั่งอยู่ในชั้นเรียนจนกว่าจะบวกเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 ในขณะที่เด็กคนอื่นๆ ได้ออกไปวิ่งเล่นนอกชั้นเรียน
สองนาทีต่อมา เกาส์ซึ่งตอนนั้นมีอายุ 10 ขวบ ออกมาข้างนอกและร่วมเล่นกับเพื่อนคนอื่นๆ ในชั้นเดียวกัน ครูออกมาดูด้วยความโมโห “คาร์ล ฟรีดริช!” ครูเรียก “เธออยากจะโดนลงโทษหนักกว่านี้หรือไง? ครูสั่งให้อยู่ในชั้นเรียนจนกว่าจะบวกเลขทั้งหมดเสร็จ แต่ผมบวกเลขเสร็จแล้ว” เขาบอก “คำตอบอยู่นี่” เกาส์ยื่นกระดาษให้ครู ในกระดาษมีคำตอบที่ถูกต้อง คือ 5,050 เขียนอยู่ ความจริงก็คือ เกาส์คิดได้ว่าเขาสามารถเขียนตัวเลขขึ้นมาสองบรรทัด แต่ละบรรทัดมีตัวเลข 101 จำนวนดังนี้:
|
0 |
1 |
2 |
3 …… |
97 |
98 |
99 |
100 |
|
100 |
99 |
98 |
97 …… |
3 |
2 |
1 |
0 |
เขาสังเกตว่าผลบวกของแต่ละแถวในแนวตั้งคือ 100 ดังนั้นจึงไม่ต้องบวกตัวเลขทั้งหมดให้ยืดยาว เนื่องจากมีจำนวนแถวทั้งหมด 101 แถว ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดก็คือ 101 x 100 = 10,100 จากนี้ผลบวกของตัวเลขบรรทัดใดบรรทัดหนึ่งของตัวเลขสองบรรทัดนี้คือค่าที่เขาต้องการ – นั่นคือ จาก 1 ถึง 100 เนื่องจากเขาต้องการผลลัพธ์แค่บรรทัดเดียวจากสองบรรทัด คำตอบจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของ 10,100 หรือ 5,050 มันเป็นเรื่องง่ายๆ แค่นี้เอง เขาคิด อย่างไรก็ตามครูของเขาก็ได้บทเรียนว่าจะต้องไม่ลงโทษเกาส์ด้วยการให้ทำโจทย์คณิตศาสตร์อีกต่อไป
เมื่ออายุ 15 ปี เกาส์ได้เข้าเรียนในวิทยาลัยแห่งหนึ่งในบรุนสวิคโดยได้รับความช่วยเหลือจากดยุคแห่งบรุนสวิค และต่อมาดยุคก็ได้ช่วยเหลือให้เกาส์ได้เรียนในมหาวิทยาลัยชื่อดังในก็อตทิงเก็น ในระหว่างที่เรียนมหาวิทยาลัยนั้น วันที่ 30 มีนาคม 1796 เกาส์ได้เริ่มเขียนหน้าแรกของไดอารี่อันแสนโด่งดังของเขา ไดอารี่มีเนื้อหาแค่ 19 หน้า แต่ในนั้นเกาส์ได้บันทึกประพจน์สั้นๆ จำนวน 146 ประพจน์ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ที่มีความสำคัญและมีพลังอย่างยิ่ง ซึ่งเขาได้คำนวณและพิสูจน์ขึ้นมา ต่อมาได้มีการค้นพบว่าแนวความคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญแทบทั้งหมดที่มีการตีพิมพ์โดยนักคณิตศาสตร์ในปลายคริสต์ศตวรรษที่ 18 และคริสต์ศตวรรษที่ 19 ได้มีถูกกล่าวถึงไว้ก่อนแล้วในไดอารี่ของเกาส์ที่ไม่ได้ถูกตีพิมพ์ออกมา ไดอารี่ถูกซ่อนไว้จนกระทั่งถูกค้นพบว่าอยู่ในความครอบครองของหลานของเกาส์ที่อาศัยอยู่ในแฮมลินในปี 1898
ผลงานของเกาส์เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน ซึ่งมีการแลกเปลี่ยนกับนักคณิตศาสตร์ในยุคเดียวกับเขาผ่านการติดต่อทางจดหมาย เป็นสิ่งสำคัญต่อความพยายามทั้งหมดของนักคณิตศาสตร์ทั้งหลายในการที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทข้อสุดท้ายของแฟร์มาต์ ผลลัพธ์มากมายได้ถูกบรรจุอยู่ในตำราที่เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนซึ่งเกาส์ได้ตีพิมพ์เป็นภาษาลาตินในปีค.ศ. 1801 ซึ่งตอนนั้นเขามีอายุ 24 ปี หนังสือซึ่งมีชื่อว่า Disquisitiones Arithmeticae ได้ถูกแปลเป็นภาษาฝรั่งเศสและออกตีพิมพ์ในปารีสในปีค.ศ. 1807 และได้รับความสนใจเป็นอย่างมาก เป็นกล่าวขานกันว่าเป็นผลงานของอัจฉริยะ เกาส์อุทิศผลงานชิ้นนี้ให้กับ ดยุคแห่งบรุนสวิค ผู้ซึ่งเป็นผู้อุปถัมภ์ของเขา
เกาส์ยังเป็นผู้รอบรู้ในด้านภาษาโบราณที่โดดเด่นด้วย ตอนที่เข้าเรียนที่วิทยาลัย เขาได้รับปริญญาโทด้านภาษาลาตินก่อนแล้ว และความสนใจในด้านภาษาศาสตร์ของเขาก็ก่อให้เกิดวิกฤตสับสนในชีวิตการทำงานของเขา ว่าตกลงเขาควรจะเลือกศึกษาด้านภาษาหรือคณิตศาสตร์กันแน่ จุดเปลี่ยนของชีวิตเกิดขึ้นเมื่อวันที่ 30 มีนาคม 1796 จากไดอารี่ของเขา เราได้รู้ว่าในวันนั้นเองหนุ่มน้อยเกาส์ตัดสินใจอย่างแน่ชัดว่าจะเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์ ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์และวิชาสถิติ (ซึ่งเขาได้รับการยกย่องเกี่ยวกับวิธีการอันแสนชาญฉลาดที่เรียกว่า วิธีกำลังสองน้อยสุด (Least Squares) ที่ใช้สำหรับการหาเส้นที่สามารถแทนชุดของข้อมูลได้พอดี) เขายังเผยแพร่ผลงานออกมาในหลายๆ สาขา แต่เขาเชื่อว่า ทฤษฎีจำนวน เป็นหัวใจของวิชาคณิตศาสตร์ทั้งปวง
แต่เหตุใตอัจฉริยะที่ยิ่งใหญ่ที่สุดทางคณิตศาสตร์จึงไม่เคยทดลองพิสูจน์ทฤษฏีบทข้อสุดท้ายของแฟร์มาต์? เพื่อนของเกาส์ชื่อเอช. ดับเบิลยู. เอ็ม โอลเบอร์ส (H. W. M. Olbers) เขียนจดหมายจากเบรเมินในวันที่ 7 มีนาคม 1816 ในจดหมายเขาบอกเกาส์ว่า สถาบันปารีสอะแคเดมีได้เสนอรางวัลก้อนใหญ่ให้กับใครก็ตามที่สามารถแสดงบทพิสูจน์ที่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างทฤษฎีบทข้อสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ เกาส์น่าจะได้ใช้ประโยชน์จากเงินรางวัลก้อนนี้ เพื่อนของเกาส์แนะนำ ในขณะนั้นและตลอดระยะเวลาของวิชาชีพทางคณิตศาสตร์ของเขา เกาส์ได้รับเงินช่วยเหลือจากดยุคแห่งบรุนสวิค ทำให้เขาสามารถสร้างผลงานทางคณิตศาสตร์ได้โดยไม่ต้องรับจ้างทำงานอย่างอื่น แต่เขายังห่างไกลจากคำว่าร่ำรวยมากนัก และ อย่างที่โอลเบอร์สแนะไว้ ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนอื่นใดจะมีความสามารถหรือความเชี่ยวชาญใกล้เคียงกับเขา “ในความคิดของฉันแล้วมันดูเป็นเรื่องเหมาะสมอย่างยิ่ง เกาส์เพื่อนรัก ที่คุณจะเริ่มลงมือทำอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้” โอลเบอร์สสรุป
แต่เกาส์ไม่ได้หลงไปกับการยั่วยุ อาจเป็นเพราะเขารู้ว่าจริงๆ แล้วทฤษฎีบทข้อสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นเรื่องลวงตามากเพียงใด อัจฉริยะผู้ยิ่งใหญ่แห่งทฤษฎีจำนวนอาจจะเป็นนักคณิตศาสตร์เพียงคนเดียวในยุโรปที่ตระหนักได้ว่ามันยากเย็นเพียงใดที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทข้อสุดท้ายของแฟร์มาต์ สองสัปดาห์ต่อมาเกาส์เขียนจดหมายไปหาโอลเบอร์สแสดงความคิดเห็นของเขาต่อทฤษฎีบทข้อสุดท้ายของแฟร์มาต์ “ฉันต้องขอบคุณมากสำหรับข่าวที่แจ้งมาเกี่ยวกับรางวัลปารีส แต่ฉันต้องสารภาพว่าทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นการยืนยันที่แปลกแยกออกไปจากเรื่องอื่นๆ และมีความน่าสนใจต่อฉันน้อยมาก เพราะฉันสามารถจะนำเสนอการยืนยันในทำนองเดียวกันนี้ได้อีกมากมาย โดยที่จะไม่มีใครสามารถแสดงบทพิสูจน์หรือหักล้างมันได้” แต่ก็น่าขันที่เกาส์ได้สร้างคุณประโยชน์ไว้มากมายในสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า การวิเคราะห์เชิงซ้อน สาขาซึ่งครอบคลุมไปถึงจำนวนจินตภาพที่ถูกคิดค้นโดยออยเลอร์ จำนวนจินตภาพมีบทบาทที่สำคัญในศตวรรษที่ยี่สิบในการทำความเข้าใจความหมายและเนื้อหาของทฤษฎีบทข้อสุดท้ายของแฟร์มาต์